MA.1.0 ~ 1.1 Intro, 实数

2023-09-26

几何代数分析
$F e r m a t$ 数：如果正多边形的边数符合，则可尺规作图
$E u l a r$ 、 $L a p l a c e$

什么是数分？

{\begin{cases} 微 分 (导 数) \\ 积 分 \end{cases}

不含数学符号的描述多尝试独立思考

反证法

\sqrt{2}

为无理数

Pasted image 20231010230551.png

有理数即有限小数/循环小数

\begin{aligned} F o r A l l & \forall \\ E x i s t & \exists \\ L o g i c N o t & \neg \dots 命 题 的 否 定 \neq 否 命 题 \\ L o g i c A n d & \land \\ L o g i c O r & \lor \end{aligned}

\begin{aligned} P : \forall M > 0, \exists n \in N 使 得 | x_{n |} \geq M \\ \neg & P : \exists M > 0, \forall n \in N 有 | x_{n |} < M \end{aligned}

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x

G：最适用于不全相同但接近

\begin{array}{r} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{3} \dots x_{n}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} \dots x_{n}}{n} \\ 其 中 等 号 当 且 仅 当 x_{1} = x_{2} = x_{3} = \dots = x_{n} 成 立 \end{array}

例题4： $设 e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} . 证明数列 {e_{n}} 单调递增且 e_{n} < 4.$
证明：^1e9a3c

\begin{aligned} e_{n} & = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1 \\ < {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = e_{n + 1} \\ e_{n} & = 4 [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}] \\ < 4 {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{n + 2})}^{n + 2} \\ = 4 \end{aligned}

^ce32e4